哈代域序列上遍历平均的逐点收敛

设 $(X,\mu)$ 为配有一族两两对易的保测变换 $T_1,\dotsc,T_m$ 的任意测度空间。我们证明遍历平均\n$$A_{N;X}^{P_1,\dotsc,P_m}f = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N T_1^{\lfloor P_1(n) \rfloor} \dotsm T_m^{\lfloor P_m(n) \rfloor} f$$\n当 $N\to\infty$ 时，对任意 $f\in L^p(X)$（$p>1$）$\mu$-几乎处处逐点收敛，其中 $P_1,\dotsc,P_m$ 为“非多项式”且具有不同增长率的哈代域函数。为建立逐点收敛，我们将证明一个长变分不等式，进而推出这些平均的极大不等式。此外，将哈代域函数类限制为与 $t^c$（$c>0$ 非整数）具有相同增长率的函数，我们还证明了完全变分估计。因此我们能给出指数和\n$$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e(\xi_1 \lfloor n^{c_1} \rfloor + \dotsb + \lfloor n^{c_m} \rfloor)$$\n收敛速度的定量界，其中 $0<c_1<\dotsb<c_m$ 为非整数。