多项式乘积ergodic平均数在素数上的点态收敛

我们在概率空间 $(X, \nu)$ 上证明了多项式乘积ergodic平均数在素数上的点态几乎处处收敛：$$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \La(n) f_1(T^{P_1(n)} x)\cdots f_k(T^{P_k(n)} x)$$其中 $\La$ 为von Mangoldt 函数，$T: X \to X$ 为可逆保 measure-preserving 变换，$P_1,\ldots, P_k$ 为具有整数系数的多项式且具有不同次数，$f_1,\ldots,f_k\in L^\infty(X)$。这种点态几乎处处收敛结果可视为对Wooley--Ziegler (Amer. J. Math, 2012) 中具有不同次数多项式情形下的范数收敛结果的细化。基于Krause--Mirek--Tao (Ann. of Math., 2022)、Kosz--Mirek--Peluse--Wright (arXiv: 2411.09478, 2024) 以及Krause--Mousavi--Tao--Ter\"{a}v\"{a}inen (arXiv: 2409.10510, 2024) 的 foundational work，我们发展了一种针对von Mangoldt 加权（等效于素数加权）平均数的多线性圆方法。该方法将多个群上的谱分析技术与加法组合学中的最新逆定理相结合。特别是，该框架的主要创新包括：(i) 多线性Cram\'{e}r 加权平均数的逆定理和Weyl型不等式；(ii) 多线性Rademacher-Menshov不等式；(iii) 算术多线性估计。