双重复与几乎必然收敛：素数与加权理论

设 $(X,\mu)$ 为一个不可数概率空间，配备一个可逆、保度量变换 $T\colon X \to X$。我们构造了一类广泛的权重 $w$，使得当 $f,g \in L^{\infty}(X)$ 时，双线性 ergodic 平均 $$\frac{1}{N} \sum_{n \leq N} w(n)\, T^{an}f \cdot T^{bn}g, \qquad a,b \in \mathbb{Z}$$ 在 $\mu$-几乎必然收敛。该类权重包含von Mangoldt 函数，解决了Frantzikinakis调查文献中第12题的开放问题，亦包含除法函数、二平方表示函数等，以及它们在下密度Piatetski-Shapiro序列 $\{\lfloor k^{c}\rfloor : k \in \mathbb{N}\}$, $1 \leq c < 7/6$ 上的限制。我们的 метод结合了组合数论与高阶 Fourier 分析，同时融合经典 Fourier-分析/鞅论方法；其中 $U^{3}$ 分析的作用尤为显著。