范数意义下非传统遍历平均的一个良好通用权

我们将证明出现在双重回归定理中的序列是 Furstenberg 平均的一个良好通用权。即，给定一个系统 $(X, \mathcal{F}, \mu, T)$ 和有界函数 $f_1, f_2 \in L^\infty(\mu)$，存在一个 $X$ 中的满测度集 $X_{f_1, f_2}$，该集合独立于整数 $a$ 和 $b$ 以及正整数 $k$，使得对于所有 $x \in X_{f_1, f_2}$ 以及任意其他保测系统 $(Y, \mathcal{G}, \nu, S)$ 和每个有界可测函数 $g_1, \ldots, g_k \in L^\infty(\nu)$，平均值 $$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)g_1 \circ S^n g_2 \circ S^{2n} \cdots g_k \circ S^{kn}$$ 在 $L^2(\nu)$ 中收敛。