双点 ergodic 定理统一方法：双重复occurrence 与返回时间

我们提出了统一的方法来推广 Bourgain 的双重复 occurrence 定理和 Bourgain 的返回时间定理至Kronecker序列整数部分，强调停止时间和度量熵。具体而言，对于每个 $\alpha \in \mathbb{R}$，我们证明以下两个结果：第一，对于每个 $\sigma$-有限保守度系统 $(X,\mu,T)$，以及每个 $f,g \in L^{\infty}(X)$，对于每个 $\gamma \in \mathbb{Q}$，双线性ergodic平均 $$\frac{1}{N} \sum_{n \leq N} T^{\lfloor \alpha n \rfloor } f \cdot T^{\lfloor \gamma n \rfloor} g$$ 在 $\mu$-a.e. 收敛；第二，对于每个非周期且可数生成的保守度系统 $(Y,\nu,S)$，以及每个 $g \in L^{\infty}(Y)$，存在一个子集 $Y_{g} \subset Y$ 使得 $\nu(Y_{g})= 1$，且对所有 $\gamma \in \mathbb{Q}$ 和 $\omega \in Y_{g}$，对于任意额外的 $\sigma$-有限保守度系统 $(X,\mu,T)$ 以及任意 $f \in L^{\infty}(X)$，“返回时间”平均 $$\frac{1}{N} \sum_{n \leq N} T^{\lfloor \alpha n \rfloor} f \cdot S^{\lfloor \gamma n \rfloor } g(\omega)$$ 在 $\mu$-a.e. 收敛。而且在两种情况下，收敛集对所有 $\gamma \in \mathbb{Q}$ 均相同。