高斯整数上完全积性函数的平均值——一种动力系统方法

我们证明了与高斯整数某些积性作用相关的加性遍历平均的点态收敛结果。我们推导出动力系统与数论中的若干应用，包括：(i) 高斯整数上的 Wirsing 定理：若 $f\colon \mathbb{G} \to \mathbb{R}$ 是有界完全积性函数，则如下极限存在：$$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^2} \sum_{1 \leq m, n \leq N} f(m + {\rm i} n).$$ (ii) 对 Frantzikinakis 与 Host 一个问题特殊情形的回答：对任意完全积性实值函数 $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$，如下极限存在：$$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N^2} \sum_{1 \leq m, n \leq N} f(m^2 + n^2).$$ (iii) Bergelson 与 Richter 关于沿 $\Omega$ 函数的遍历平均定理的一个变体：若 $(X,T)$ 是具有唯一不变测度 $\mu$ 的唯一遍历系统，则对任意 $x\in X$ 与 $f\in C(X)$，$$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N^2}\sum_{1 \leq m, n \leq N} f(T^{\Omega(m^2 + n^2)}x)=\int_Xf \ d\mu.$$