数的表示联合正规性：一种遍历论方法

我们引入一种遍历论方法来研究数的表示的联合正规性（joint normality）。例如，我们证明对任意整数 $b \geq 2$，几乎每个数 $x \in [0,1)$ 关于 $b$ 进制展开与连分数展开是联合正规的。这一事实是如下处理逐点联合遍历性（pointwise joint ergodicity）的定理的推论：设 $T_b:[0,1] \rightarrow [0,1]$ 为倍 $b$ 映射，定义为 $T_b x = bx \, \bmod \, 1$，并设 $T_G:[0,1] \rightarrow [0,1]$ 为高斯映射，定义为对 $x \ne 0$ 有 $T_G(x) = \{\frac{1}{x}\}$，且 $T_G (0) =0$（此处 $\{ \cdot \}$ 表示小数部分）。对任意 $f, g \in L^{\infty} (\lambda)$，$$\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N } \sum_{n=0}^{N-1} f(T_b^{n}x) \, g(T_G^n x) = \int f \, d \lambda \cdot \int g \, d \mu_G \quad \text{for almost every } x \in [0,1],$$ 其中 $\lambda$ 是 $[0,1]$ 上的勒贝格测度，$\mu_G$ 是 $[0,1]$ 上的高斯测度，由对任意可测集 $A \subset [0,1]$ 有 $\mu_G (A) = \frac{1}{ \log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx$ 给出。我们证明了逐点联合遍历性现象在区间上多种数论映射中广泛存在，并推导出有关联合正规性的相应推论。我们还建立了数的各种表示的正规性与联合正规性诸形式之间的等价性，从而为经典正规性结果提供了一个通用框架。