非 Conventional 遍历平均的发散速率

我们研究沿时间序列 $(a_n)$ 的遍历和的增长速率：$S_N f(x)=f(T^{a_1}x) + \dots + f(T^{a_N}x)$。我们刻画了这些遍历和的最大增长速率，并识别出若干达到该增长速率的序列，例如 $(2^n)$。我们还回到辛钦的强一致分布猜想，该猜想称平均值 $(1/N)(f(x)+f(2x \bmod 1)+\dots+f(Nx \bmod 1))$ 对 $[0,1)$ 上可积函数 $f$ 几乎处处逐点收敛到 $\int f$。我们给出该猜想的一个初等反例，表明发散以最大速率发生。此外，我们考虑将正整数序列替换为正整数半群的递增枚举的辛钦猜想的版本。我们给出了修改后的猜想收敛的半群的充要条件。