关于几乎素数的 Erdős 和

1935 年，Erdős 证明了在恰好有 $k$ 个素因子的整数 $n$ 上求和 $f_k=\sum_n 1/(n\log n)$ 被一个绝对常数所界，并且 1993 年 Zhang 证明了 $f_k$ 在素数求和 $f_1=\sum_p 1/(p\log p)$ 处取得最大值。根据 Banks 和 Martin 在 2013 年提出的猜想，$f_k$ 被预测随 $k$ 单调递减。在本文中，我们证明了限制于奇整数的这些和在 $k$ 充分大时确实是单调递减的。相比之下，与猜想相反，我们证明了和 $f_k$ 在 $k$ 充分大时单调递增。我们的主要结果给出了 $f_k$ 的一个渐近式，并确定了（负的）次要项，即对于显式常数 $a= 0.0656\cdots$ 有 $f_k = 1 - (a+o(1))k^2/2^k$。这通过结合实分析与复分析的精细方法证明，而 Sathe 和 Selberg 关于 $k$ 个素数乘积的经典结果仅蕴含较弱的估计 $f_k=1+O_{\varepsilon}(k^{\varepsilon-1/2})$。我们还给出了一个与 Dickman 分布相关的概率论论证。此处证明归结为证明一列积分以指数速度快速收敛到 $e^{-\gamma}$，这可能有独立的意义。