具有较少素因子整数的和积问题

E. Szemerédi曾提问：对于有限集$A\subset\mathbb{Z}$，在所有涉及的整数具有有界个素因子——即每个$a\in A$满足$\omega(a)\leq k$——的约束下，能否改进$\max\{|A+A|,|A\cdot A|\}$的估计。本文肯定地回答了Szemerédi的问题，证明若该最大值在$k\leq (\log|A|)^{1-\epsilon}$（对某$\epsilon>0$）时具有$|A|^{\frac{5}{3}-o(1)}$阶。事实上，这将由一个加性能量的估计推出，该估计除$|A|^{o(1)}$因子外是最佳可能的。