素数域大子集上的和-积估计

设 $\mathbb{F}_p$ 为素数阶 $p$ 的域。已知对任意整数 $N\in [1,p]$,均可构造子集 $A\subset\mathbb{F}_p$,$|A|= N$,使得 $$\max\{|A+A|, |AA|\}\ll p^{1/2}|A|^{1/2}.$$ 在本文中,我们证明:若 $A\subset \mathbb{F}_p$ 且 $|A|>p^{2/3}$,则 $$\max\{|A+A|, |AA|\}\gg p^{1/2}|A|^{1/2}.$$