有限域中乘法拟子群的加法平移

我们证明，对于满足 $|A|=|B|=|C| \leq \sqrt{p}$ 的集合 $A, B, C \subset \mathbb{F}_p$ 以及一个固定的 $0 \neq d \in \mathbb{F}_p$，有 $$\max(|AB|, |(A+d)C|) \gg|A|^{1+1/26}.$$ 特别地，$$|A(A+1)| \gg |A|^{1 + 1/26}$$ 和 $$\max(|AA|, |(A+1)(A+1)|) \gg |A|^{1 + 1/26}.$$ 第一个估计改进了 Roche-Newton 和 Jones 的界。在阶为 $q = p^m$ 的一般域情形下，我们在 $AB$ 与任何子域陪集没有大交集的条件下，得到了具有指数 $1+1/559 + o(1)$ 的类似估计，回答了 Shparlinski 的一个问题。最后，我们证明了 $\mathbb{F}_q$ 上高斯和的估计 $$\left| \sum_{x \in \mathbb{F}_q} \psi(x^n) \right| \ll q^{\frac{7 - 2\delta_2}{8}}n^{\frac{2+2\delta_2}{8}},$$ 其中 $\psi$ 是一个非平凡加法特征，且 $\delta_2 = 1/56 + o(1)$。当 $q^{1/2} \ll n = o\left( q^{29/57 + o(1)} \right)$ 时，该估计给出了对经典 Weil 界的改进。