关于集合 A(A+1) 的大小

设 $F_p$ 为素数阶 $p$ 的域。对于子集 $A\subset F_p$，我们考虑乘积集 $A(A+1)$。该集合是 $A\times A$ 在多项式映射 $f(x,y)=xy+x:F_p\times F_p\to F_p$ 下的像。本文证明，若 $|A|<p^{1/2}$，则 $$|A(A+1)|\ge |A|^{106/105+o(1)}.$$ 若 $|A|>p^{2/3}$，则我们证明 $$|A(A+1)|\gg \sqrt{p |A|}$$ 并说明在一般情形下这是最优界（至多差一个隐含常数）。我们还估计了当 $A$ 为实数子集时 $A(A+1)$ 的基数。我们证明在此情形下有 Elekes 型界 $$|A(A+1)|\gg |A|^{5/4}.$$