凸性、超二次增长与点积

设 $P \subset \mathbb R^2$ 为基数为 $N$ 的点集。我们给出了由 $P$ 确定的点积数量的改进界，证明了 $$|\{ p \cdot q :p,q \in P \}| \gg N^{2/3+c}.$$ 证明该界的一个关键要素是一个涉及乘积与平移的新的超二次扩展子。我们证明，对于任意有限集 $X \subset \mathbb R$，存在 $z,z' \in X$ 使得 $$\left|\frac{(zX+1)^{(2)}(z'X+1)^{(2)}}{(zX+1)^{(2)}(z'X+1)}\right| \gtrsim |X|^{5/2}.$$ 这是由一个关于通过凸性与和集定义的集合增长的更一般结果推导而来的，该结果可用于证明其他几个具有优于二次增长的扩展子。该证明发展了前两位署名作者与 Misha Rudnev 近期工作中的论证，并主要使用了初等方法。