不同交比及其相关增长问题

它表明对于包含四个或更多复数的有限集 $A$，由 $A$ 中两两不同元素组成的四元组生成的所有交比的集合 $C[A]$ 的基数为 $|C[A]|\gg |A|^{2+\frac{2}{11}}\log^{-\frac{6}{11}} |A|$，而在实数情况下没有对数因子。集合 $C=C[A]$ 在加法和乘法下总是增长的。交比尤其出现在研究一个开放问题中：在平面中给定非共线有限点集且第三点固定在原点时，三角形面积的最小数量问题。上述不同的交比界暗示了对后一问题的新下界，并使得能够证明集合 $\sin(A-A),\;A\subset \mathbb R/\pi\mathbb Z$ 在乘法下的增长。似乎有理由猜想该集合或 $C$ 的多重积以及和集持续无限增长。