遗传有限集附加层级的枚举

遗传有限集（即自身有限且其元素均为遗传有限集的集合）是基础的数学与计算对象，也是某些编程语言的基石。这产生了对此类集合进行高效表示的需求，例如通过数字进行编码。2008 年，Kirby 提出了一种遗传有限集的附加层级（adjunctive hierarchy），其基础在于这些集合可视为由空集通过重复附加（adjunction）构建而成，即向现有集合中添加一个从已有集合中选取的新单一元素。确定该层级每一层的基数 $a_n$ 对于判定自然附加层级是否能导向高效的数字编码至关重要，但该问题此前尚未解决。本文解决了这一问题。我们的结果可推广至带有原子的遗传有限集，或通过施加对秩、基数或新附加元素来源最大层级的限制来进一步细化。我们还证明了 $a_n$ 满足渐近公式 $a_n = C^{2^n} + O(C^{2^{n-1}})$，其中常数 $C \approx 1.3399$，这表明其渐近增长过快而不适用于实际目的。因此，我们提出了一种非常自然的附加层级变体，并证明其渐近行为为 $\Theta(2^n)$。据我们所知，这是此类首个结果。