Erdős-Szemerédi 关于和集与积集的问题

本文的基本主题是如下事实:若 $A$ 为整数的有限集,则其和集与积集不能同时很小。该事实的精确表述如下述 Erdős-Szemerédi [E-S] 的猜想 1(相关方面亦见 [El]、[T] 与 [K-T])。目前仅知此猜想的远弱结果或非常特殊的情形。一种途径是假设和集 $A + A$ 小,进而推得积集 $AA$ 大(利用 Freiman 结构定理)(参见 [N-T]、[Na3])。我们遵循相反路径并证明若 $|AA| < c|A|$,则 $|A+A| > c^\prime |A|^2$(见定理 1)。该现象的定量版本结合 Plünnecke 型不等式(由 Ruzsa 给出)使我们完全解决 [E-S] 中关于 $k$ 中增长的有关猜想。若 $$g(k) \equiv \text{min}\{|A[1]| + |A\{1\}|\}$$ 对所有基数 $|A| = k$ 的集 $A\subset \Bbb Z$ 取最小,其中 $A[1]$(相应地,$A\{1\}$) 指 $A$ 的元素的简单和(相应地为积)(见 (0.6)、(0.7))。[E-S] 中猜想当 $k\to\infty$ 时 $g(k)$ 比 $k$ 的任何幂增长都快。我们在此证明 $\ell n g(k)\sim\frac{(\ell n k)^2}{\ell n \ell n k}$(见定理 2),此为本文主要结果。