通过改进的 k-配置界限求解 Erdős--Moser 和-自由集问题

k-配置是由 k 个互不相同的整数 $x_1,\ldots,x_k$ 以及它们的两两算术平均数 $\frac{x_i+x_j}{2}$（其中 $1 \leq i < j \leq k$）组成的集合。建立在 Filmus、Hatami、Hosseini 和 Kelman 关于线性形式的二进制系统以及 Kelley 和 Meka 关于算术序列 Roth 定理的最新工作基础上，我们证明对于 $N \geq \exp((k\log(2/\alpha))^{O(1)})$，密度至少为 $\alpha$ 的任意子集 $A \subseteq [N]$ 必包含一个 $k$ 配置。这改进了由 Shao 于 $N \geq \exp((2/\alpha)^{O(k^2)})$ 给出的先前最佳界限。作为结果，任何有限非空集合 $A \subseteq \mathbb{Z}$ 必包含一个子集 $B \subseteq A$ 的大小至少为 $(\log|A|)^{1+\Omega(1)}$，使得对于任意互不相同的 $b_1,b_2 \in B$，都有 $b_1+b_2 \not\in A$。这为 Erdős--Moser 和-自由集问题给出的下界提供了新的证明，与 Sanders 给出的最佳下界具有相同的形式。