关于 Erdős 覆盖问题：未被覆盖集合的密度

自 Erdős 于 1950 年引入以来，覆盖系统(即覆盖整数的有限算术级数集合)已被广泛研究，并提出了大量关于具有各种性质的覆盖系统存在性的问题及猜想。特别地，Erdős 询问模是否可以互异且全部任意大，Erdős 和 Selfridge 询问模是否可以互异且全部为奇数，以及 Schinzel 猜想在任何覆盖系统中存在一对模，其中一个整除另一个。另一个优美的猜想由 Erdős 和 Graham 于 1980 年提出，指出若模是区间 $[n,Cn]$ 中的互异元素，且 $n$ 足够大，则被并集未覆盖的整数的密度以某个常数(仅依赖于 $C$)为下界。该猜想被 Filaseta、Ford、Konyagin、Pomerance 和 Yu 于 2007 年(以强形式)证实，他们 moreover 询问若模互异且足够大，且 $\sum_{i=1}^k \frac{1}{d_i} < C$，是否仍成立相同结论。尽管此条件被证明不足以推出所需结论，但作为本文的主要结果，我们将给出一个本质上最佳的可能充分条件。我们的方法还有若干进一步应用。最重要的是，我们证明了上述 Schinzel 于 1967 年提出的猜想。此外，我们给出了 Hough 突破性结果的另一种(较为简单的)证明，其解决了 Erdős 的最小模问题，并改进了最小差的界。最后，我们在 Erdős 和 Selfridge 问题上取得了进一步进展。