关于 Erdős 模糊轨迹旧定理的一个注记

Erdős 于 1946 年证明：若集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ 为闭非空集，则 $\mathbb{R}^n$ 中满足到 $E$ 的最近点不唯一这一性质的点集（称为模糊轨迹或中轴）可被可数个曲面覆盖，且每个曲面的 $(n-1)$ 维测度有限。我们通过就这些曲面的凸性与 $C^2$ 正则性获得新的正则性结果，从而改进了该结论。