On an Erd\H{o}s-type conjecture on $\mathbb{F}_q[x]$

P. Erd\H{o}s 于 1962 年在整数环 $\mathbb{Z}$ 上提出的一个猜想：每一个包含 $n$ 个同余类在 $\mathbb{Z}$ 中的集合，若覆盖了前 $2^n$ 个正整数，也必然覆盖整个整数环 $\mathbb{Z}$。该猜想于 1970 年由 R. B. Crittenden 和 C. L. Vanden Eynden first 证实。后来，2019 年，P. Balister、B. Bollob\'{a}s、R. Morris、J. Sahasrabudhe 和 M. Tiba 提供了更透明的证明方法。本文沿用 R. B. Crittenden 和 C. L. Vanden Eynden 的方法，在有限域上的多项式环 $\mathbb{F}_q[x]$ 中证明了扩广的 Erd\H{o}s 猜想。我们证明，每一个包含 $n$ 个理想余集的集合，若覆盖了所有次数小于 $n$ 的多项式，也必然覆盖整个环 $\mathbb{F}_q[x]$。