关于 Erd\H{o}s 关于不含 $k$ 个两两互素整数集合的猜想

设 $\mathbb{Z}^{+}$ 为正整数集。$C_{k}$ 表示 $\mathbb{Z}^{+}$ 的所有子集，其中每个子集都不包含 $k + 1$ 个两两互素的整数，且 $C_k(n)=C_k\cap \{1,2,\ldots,n\}$。令 $f(n, k) = \text{max}_{A \in C_{k}(n)}|A|$，其中 $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素个数。令 $E_k(n)$ 为不超过 $n$ 且能被前 $k$ 个素数 $p_{1}, \dots{}, p_{k}$ 中至少一个整除的正整数集，其中 $p_{i}$ 表示第 $i$ 个素数。1962年，Erd\H{o}s 猜想对于每个 $n \ge p_{k}$ 有 $f(n, k) = |E(n,k)|$。最近 Chen 和 Zhou 证明了关于此猜想的一些结果。本文解决了 Chen 和 Zhou 的一个开放问题，并证明了关于该猜想的几个相关结果。