关于Erdős、Herzog和Schönheim的一个问题

设$p_1, p_2,..., p_n$为不同的素数。1970年，Erdős、Herzog和Schönheim证明了：如果$\cal D$是$N=p_1^{\alpha_1}...p_n^{\alpha_n}$（$\alpha_1\ge \alpha_2\ge...\ge \alpha_n$）的因子集，其中任意两个元素互素，并且不能再向$\cal D$中添加任何元素而不违反此条件，则$|{\cal D}|\ge \alpha_n \prod_{i=1}^{n-1} (\alpha_i +1)$。他们要求确定所有使等号成立的集合$\cal D$。本文解决了这个问题。我们还提出了几个开放问题以供进一步研究。