正密度集的差集乘积

在本文中，我们证明给定两个正密度集 $E_1,E_2 \subset \mathbb{Z}$，存在 $k \geq 1$，其由一个仅依赖于 $E_1$ 和 $E_2$ 密度的数所界定，使得 $k\mathbb{Z} \subset (E_1-E_1)\cdot(E_2-E_2)$。作为主定理的推论，我们推导出若 $\alpha,\beta > 0$，则存在仅依赖于 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 $N_0$ 和 $d_0$，使得对于每个 $N \geq N_0$ 以及 $E_1,E_2 \subset \mathbb{Z}_N$ 且 $|E_1| \geq \alpha N, |E_2| \geq \beta N$，存在 $d \leq d_0$ 为 $N$ 的因子满足 $d \, \mathbb{Z}_N \subset (E_1-E_1)\cdot(E_2-E_2)$。