素数集差集的乘积

在最近的工作\cite{key-11}中,A. Fish证明了如果$E_{1}$和$E_{2}$是$\mathbb{Z}$中两个具有正上Banach密度的子集,则存在$k\in\mathbb{Z}$使得$k\cdot\mathbb{Z}\subset\left(E_{1}-E_{1}\right)\cdot\left(E_{2}-E_{2}\right)$。在本文中,我们将证明对密度为$0$的素数集$\mathbb{P}$类似结论也成立。我们将证明存在$k\in\mathbb{N}$使得$k\cdot\mathbb{N}\subset\left(\mathbb{P}-\mathbb{P}\right)\cdot\left(\mathbb{P}-\mathbb{P}\right)$,其中$\mathbb{P}-\mathbb{P}=\left\{ p-q:p>q\,\text{and}\,p,q\in\mathbb{P}\right\}$。