大整数集中的非对称无限和集

我们证明，对于任何具有正上密度的集合 $A \subset \mathbb{N}$ 以及任意 $\ell,m \in \mathbb{N}$，存在一个无限集 $B\subset \mathbb{N}$ 和某个 $t\in \mathbb{N}$，使得 $\{mb_1 + \ell b_2 \colon b_1,b_2\in B\ \text{and}\ b_1<b_2 \}+t \subset A$，这验证了 Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 的一个猜想。我们还考虑了模式 $\{mb_1 + \ell b_2 \colon b_1,b_2\in B\ \text{and}\ b_1 \leq b_2 \}$，其中 $B\subset \mathbb{N}$ 是无限集，并证明任何具有下密度 $\underline{d}(A)>1/2$ 的集合 $A\subset \mathbb{N}$ 都包含此类构型，最多相差一个平移。我们证明值 $1/2$ 是最优的，并得到了上密度值以及不允许平移时的类似结果。