Erdős $B+B+t$ 问题推广的反例

在解决了Erdős $B+B+t$ 问题之后，Kra Moreira、Richter和Robertson提出了一系列关于整数及其他可解群的正密度子集中无限构型的问题和猜想。我们基于Ernst Straus的构造，给出了若干问题和猜想的否定答案，并构造了反例族。在我们的反例中，对于任意$\varepsilon > 0$，我们展示了一个集合$A \subseteq \mathbb{N}$，其乘法上Banach密度至少为$1 - \varepsilon$，但$A$不包含任何形如$\{b_1b_2t : b_1, b_2 \in B, b_1 \ne b_2\}$的伸缩乘积集，其中$B \subseteq \mathbb{N}$是无限集，$t \in \mathbb{Q}_{>0}$。我们还证明了存在一个集合$A \subseteq \mathbb{N}$，其加法上Banach密度至少为$1 - \varepsilon$，但$A$不包含任何形如$\{b_1^2 + b_2 + t : b_1, b_2 \in B, b_1 < b_2\}$的多项式构型，其中$B \subseteq \mathbb{N}$是无限集，$t \in \mathbb{Z}$。此外，还讨论了一些密切相关问题的反例。