关于某些经典不可分 Banach 空间中过完备集的存在性

对于 Banach 空间 $X$，其子集 $Y\subseteq X$ 称为过完备的，若 $|Y|=dens(X)$ 且对每个满足 $|Z|=|Y|$ 的 $Z\subseteq Y$，$Z$ 在 $X$ 中线性稠密。在不可分 Banach 空间的语境下，该概念由 T. Russo 与 J. Somaglia 近期引入，但过完备集自 1950 年代以来已在可分 Banach 空间中被考虑。我们证明了关于某些经典不可分 Banach 空间中过完备集存在与不存在的一些绝对性与一致性结果。例如：$c_0(\omega_1)$、$C([0,\omega_1])$、$L_1(\{0,1\}^{\omega_1})$、$\ell_p(\omega_1)$、$L_p(\{0,1\}^{\omega_1})$（$p\in (1, \infty)$）或一般地密度为 $\omega_1$ 的 WLD Banach 空间承认过完备集（在 ZFC 中）。空间 $\ell_\infty$、$\ell_\infty/c_0$、形如 $C(K)$（$K$ 极不连通）的空间、密度为 $\omega_1$ 的 $\ell_1(\omega_1)$ 的超空间不承认过完备集（在 ZFC 中）。由 $c_0$ 与 $\mathbb N$ 的势为 $\omega_1$ 的几乎不交子集族中元素的示性函数在 $\ell_\infty$ 中生成的 Johnson-Lindenstrauss 空间是否承认过完备集是不可判定的。同样适用于所有对偶球密度为 $\omega_1$ 且在弱$^*$ 拓扑下可分的不可分 Banach 空间。所证结果涉及更广泛的 Banach 空间类，但若干自然的开放问题仍待解决。