包含 $c_0$ 的 Banach 空间与第四对偶中的元素

T.~Abrahamsen、P.~Hájek 和 S.~Troyanski 最近的一个结果表明，一个可分的 Banach 空间是几乎方的当且仅当存在 $h\in S_{X^{****}}$ 使得对所有的 $x\in X$ 有 $\|x+h\|=\max\{\|x\|,1\}$。该证明经过一个被称为\textit{序列几乎方}的序列版本。在本文中我们在不可分情形下研究这些条件。一方面，我们证明 Banach 空间 $X$ 包含 $c_0$ 的拷贝当且仅当在 $X$ 上存在等价重新赋范 $| \cdot |$ 使得存在 $h\in S_{X^{****}}$ 满足对每个 $x\in X$ 有 $|x+h|=\max\{|x|,1\}$。另一方面，尽管尚不清楚上述 T.~Abrahamsen 等人的结果在不可分情形下是否成立，我们证明在选择性超滤子存在的前提下，若 $X$ 是一个序列几乎方的 Banach 空间，则存在 $h\in S_{X^{****}}$ 使得对所有的 $x\in X$ 有 $\|x+h\|=\max\{\|x\|,1\}$。