一个被 $c_0$ 饱和但没有长无条件基序列的 Banach 空间

我们给出一个 Banach 空间 $\mathfrak X$,其具有长度为 $\omega_1$ 的 Schauder 基,被 $c_0$ 的拷贝所饱和,并且使得对每个闭子空间 $X=X_0\oplus X_1$ 的闭分解,要么 $X_0$ 要么 $X_1$ 必须是可分的。这可被视为遗传不可分解空间概念的非可分对应物。事实上,$\mathfrak X$ 的子空间具有“极少算子”的性质,即对每个有界算子 $T:X \to \mathfrak{X}$(其中 $X$ 是 $\mathfrak{X}$ 的子空间)到 $\mathfrak{X}$,它都是包含映射的倍数与一个 $\omega_1$-奇异算子之和,也即一个在任何 $X$ 的非可分子空间上都不是同构的算子 $S$。我们还证明了,虽然 $\mathfrak{X}$ 不可扭曲(由于被 $c_0$ 饱和),但它在 $\omega_1$ 意义下是任意可扭曲的:即对每 $\lambda>1$,在 $\mathfrak{X}$ 上存在等价范数 $\||\cdot \||$ 使得对 $\mathfrak{X}$ 的每个非可分子空间 $X$,存在 $x,y\in S_X$ 满足 $\||\cdot \|| / \||\cdot \||\ge \la$。