关于 Banach 空间中几类 Schauder 框架的刻画

在本文中，我们证明了以下结果。存在一个没有基的 Banach 空间，它有一个 Schauder 框架。存在一个泛 Banach 空间 $B$（相应地，$\tilde{B}$）具有基（相应地，无条件基），使得 Banach 空间 $X$ 有 Schauder 框架（相应地，无条件 Schauder 框架）当且仅当 $X$ 同构于 $B$（相应地，$\tilde{B}$）的补子空间。对于弱序列完备的 Banach 空间，Schauder 框架是无条件的当且仅当它是 besselian 的。可分的 Banach 空间 $X$ 有 Schauder 框架当且仅当它具有有界逼近性质。因此，Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上所有有界线性算子构成的 Banach 空间 $\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ 没有 Schauder 框架。此外，若 $X$ 和 $Y$ 是具有 Schauder 框架的 Banach 空间，则 Banach 空间 $X\widehat{\otimes}_{\pi}Y$（ $X$ 与 $Y$ 的投影张量积）具有 Schauder 框架。由 Faber$-$Schauder 系统，我们为 Banach 空间 $C[0,1]$（闭区间 $[0,1]$ 上连续函数构成的 Banach 空间）构造了一个 Schauder 框架，它不是 $C[0,1]$ 的 Schauder 基。最后，我们对 Schauder 基相关的一些开放问题（在 Schauder 框架情形下）给出了肯定回答。