球面上大子集集中的 Banach 空间

我们构造了一个不可分的 Banach 空间 $\mathcal X$（实际上具有连续统密度），使得 $\mathcal X$ 的单位球面的任意不可数子集 $\mathcal Y$ 都包含不可数多个彼此距离小于 $1$（事实上，对某个 $\varepsilon>0$ 小于 $1-\varepsilon$）的点。这以否定方式解决了寻找 Kottman 定理不可分版本这一研究的核心问题，该问题迄今已对特殊类 Banach 空间产生了许多深刻的肯定结果，并将空间的全局性质与单位球不可数子集的点间距离联系起来。我们空间的性质强到足以推出它既不包含不可数 Auerbach 系统也不包含不可数等边集。该空间是由 $\mathbb N$ 的子集的 $\mathbb R$-可嵌入几乎不交族所诱导的 Johnson-Lindenstrauss 空间的严格凸重赋范。我们还表明，几乎不交族的这一特殊特征对于获得上述性质是本质的。