间距大于 1 的不可数单位向量集

设 $X$ 为 Banach 空间。我们研究存在不可数集 $\mathcal A\subset X$（由单位向量组成）使得对于不同的 $x,y\in \mathcal A$ 满足 $\|x-y\|>1$ 的条件。我们证明：若 $X$ 是准自反且不可分的，则此类集合存在；若 $X$ additionally 是超自反的，则对于某个仅依赖于 $X$ 的 $\varepsilon>0$，可有 $\|x-y\|\geqslant 1+\varepsilon$。若 $K$ 是非度量化紧 Hausdorff 空间，则 $X=C(K)$ 的单位球面也包含此类子集；此外，若 $K$ 是完美正规的，则可找到基数等于 $X$ 密度的此类集合；这解决了 S. K. Mercourakis 和 G. Vassiliadis 遗留的一个问题。