关于巴拿赫空间及其子集被超平面覆盖的问题

给定一个巴拿赫空间，我们考虑其所有可被可数个超平面覆盖的子集构成的 $\sigma$-理想，并研究其标准基数特征，如可加性、覆盖数、一致性和余稠性。我们确定了可分巴拿赫空间的这些特征的值，并估计了不可分巴拿赫空间的相应值。剩余问题归结为判断以下是否能在 ZFC 中为每个不可分巴拿赫空间 $X$ 证明：(1) $X$ 可被 $\omega_1$ 个其超平面覆盖；(2) $X$ 中所有基数小于 ${\rm cf}([{\rm dens}(X)]^\omega)$ 的子集可被可数个超平面覆盖。我们对许多被广泛研究的类中的所有巴拿赫空间证明了 (1) 和 (2)，并且它们与连续统的任何可能大小相一致。(1) 与每个具有小对角线的紧豪斯多夫空间是否可度量化的相关问题有关，(2) 与大基数有关。