Banach 空间上的 Lipschitz 函数空间

R. C. James 的一个著名定理如下:设 $X$ 是 Banach 空间,$C \subseteq X$ 是范数有界、闭且凸的集合,使得每个线性泛函 $x^* \in X^*$ 在 $C$ 上达到其上确界;则 $C$ 是弱紧集。实际上,这一结果比该叙述要强得多; indeed,其证明可用于得到其他令人惊讶的结果。例如,设 $X$ 是可分 Banach 空间,$S$ 是 $X^*$ 的单位球中的范数可分子集,使得对每个 $x \in X$ 存在 $x^* \in S$ 满足 $x^*(x) = \|x\|$;则 $X^*$ 本身是范数可分的。若称 $S$ 为支撑集(此处相对于整个空间 $X$),则可提出关于支撑集的大小与结构的问题,这种支撑集不仅相对于 $X$ 本身,也可能相对于 $X$ 的某个其他子集。我们分析了一种特殊情况并给出了一些应用。