Bishop 定理与 $C_b(K)$ 子空间的可微性

设 $K$ 为 Hausdorff 空间，$C_b(K)$ 为 $K$ 上所有复值有界连续函数构成的 Banach 代数。我们研究 $C_b(K)$ 子空间的 G\^{a}teaux 可微性与 Fr\'echet 可微性。利用这一结果，我们证明了若 $K$ 是紧致的，则 $C_b(K)$ 的非平凡分离可分 subspace $H$ 中所有强峰函数 (strong peak functions) 的集合是 $H$ 中的稠密 $G_\delta$ 子集。这给出了一个广义的 Bishop 定理，即 $H$ 的强峰点 (strong peak point) 集合的闭包是 $H$ 的最小闭范定子集 (closed norming subset)。经典的 Bishop 定理是针对分离子代数 $H$ 和可度量化紧空间 $K$ 证明的。在 $X$ 是具有 Radon-Nikod\'ym 性质的复 Banach 空间的情形下，我们证明了 $A_b(B_X)=\{f\in C_b(B_X) : f|_{B_X^\circ} \text{是全纯的}\}$ 中所有强峰函数的集合是稠密的。作为应用，我们证明了 $A_b(B_X)$ 的最小闭范定子集是 $A_b(B_X)$ 所有强峰点集合的闭包。这意味着 $A_b(B_X)$ 的范数在 $A_b(B_X)$ 的一个稠密子集上是 G\^{a}teaux 可微的，尽管当 $X$ 非平凡时该范数处处不是 Fr\'echet 可微的。我们还研究了范数可达全纯函数和多项式的稠密性。最后，我们探讨了数值 Shilov 边界的存在性。