Banach 空间上的范数与数值峰全纯函数

我们引入数值（强）峰函数的概念，并研究复 Banach 空间上范数峰函数与数值峰函数的稠密性。设 $A_b(B_X:X)$ 为 Banach 空间 $X$ 的单位球 $B_X$ 上所有有界连续函数 $f$ 及其在开单位球 $B_X^\circ$ 上的限制 $f|_{B_X^\circ}$ 全纯所构成的 Banach 空间。在有限维空间中，我们证明所有范数峰函数集合与所有数值峰函数集合的交集是 $A_b(B_X:X)$ 的一个稠密 $G_\delta$ 子集。我们还证明，若 $X$ 是具有 Radon-Nikod\'ym 性质的光滑 Banach 空间，则所有数值强峰函数的集合在 $A_b(B_X:X)$ 中稠密。特别地，当 $X=L_p(\mu)$ $(1<p<\infty)$ 或 $X=\ell_1$ 时，我们证明所有范数强峰函数集合与所有数值强峰函数集合的交集是 $A_b(B_X:X)$ 的一个稠密 $G_\delta$ 子集。同时，我们研究全纯函数的数值半径以及 $A_b(B_X:X)$ 子空间的数值指标。作为应用，我们研究了 $A_b(B_X:X)$ 数值边界的存在性与性质。最后，当 $X=\ell_\infty^n$ 时，我们刻画了 $A_b(B_X:X)$ 中的数值峰函数，并给出关于数值（强）峰全纯函数稠密性的一些否定性结果。