强峰点与强范数达到点及其在稠密性与多项式数值指标中的应用

利用变分法证明了：$C_b(K)$ 的闭代数 $A$ 中所有强峰函数的集合是稠密的，当且仅当所有强峰点的集合是 $A$ 的一个定范子集。作为推论，我们可以导出强峰函数在其他某些空间上的稠密性。若 Banach 空间 $X$ 的一致强暴露点集是 $\mathcal{P}({}^n X)$ 的定范子集，则 $\mathcal{P}({}^n X)$ 中所有强范数达到元素的集合是稠密的。特别地，$\mathcal{P}({}^n X)$ 的范数 Fr\'echet 可微的所有点构成的集合是一个稠密 $G_\delta$ 子集。在最后部分，利用 Reisner 的图论方法，我们在具有绝对范数的 CL-空间上构造了一些强范数达到多项式。随后我们证明：对于具有绝对范数的有限维复 Banach 空间 $X$，其多项式数值指标为 1 当且仅当 $X$ 等距同构于 $\ell_\infty^n$。此外，我们给出了具有绝对范数的 CL-空间单位球的所有复极端点集的刻画。