Banach 空间之间达范数算子集的剩余性

我们研究了 Banach 空间上达范数泛函集的剩余性与 Banach 空间之间达范数算子集的剩余性和稠密性之间的关系。我们的第一个主要结果表明，如果 $C$ 是 Banach 空间 $X$ 的一个有界子集，其容许一个 LUR 重新赋范，并满足：对每个 Banach 空间 $Y$，从 $X$ 到 $Y$ 的算子 $T$ 中使得 $\|Tx\|$ 在 $x\in C$ 上的上确界被达到的算子是稠密的，则那些强暴露 $C$ 的泛函的 $G_\delta$ 集在 $X^*$ 中稠密。这推广了 J. Bourgain 和 K.-S. Lau 的先前结果。当 $C$ 为 $X$ 的单位球时的特例，我们得到 $X^*$ 的范数在一个稠密子集上 Fréchet 可微，改进了 J. Lindenstrauss 的结果，我们甚至给出一个例子表明 Lindenstrauss 的结果并非最优。在反向，我们通过要求 $X$ 上强暴露泛函集稠密，以及对 $Y$ 或 $Y^*$ 涉及 RNP 和强暴露点集离散性的条件，得到了从 $X$ 到 $Y$ 的绝对强暴露算子 $G_\delta$ 集稠密性的结果。这些结果包含了甚至连达范数算子稠密性都未知的例子。我们还表明，达范数算子集的剩余性蕴含绝对强暴露算子集的稠密性，只要定义域空间和值域空间的对偶可分，从而推广了近期关于泛函的结果。最后，我们的结果有重要应用，其中我们指出我们解决了一个提出的开放问题，表明欧几里得单位圆上 Lipschitz 函数空间的唯一预对偶不具有 Lindenstrauss 性质 A。