Banach 空间中范数 rotundity 的反例

我们研究无限维 Banach 空间范数严格凸性主题中的若干经典概念。具体而言，按强度递减顺序，我们处理一致 Rotund (UR)、弱一致 Rotund (WUR) 和每个方向一致 Rotund (URED)。我们的前三个结果表明，在每一个可进行此类赋范的 Banach 空间中，我们均可区分这三种性质。具体地，我们证明在每个容许 WUR (相应为 URED) 赋范的无限维 Banach 空间中，可找到满足同一条件且进一步不满足 UR (相应为 WUR) 的范数。我们证明这些范数可在容许此类赋范的 Banach 空间中被构造为局部一致 Rotund (LUR)。此外，我们获得在每个具有 LUR 范数的 Banach 空间中，可找到非 URED 的 LUR 赋范。这些结果解决了 A.J. Guirao、V. Montesinos 和 V. Zizler 提出的三个公开问题。我们在第一部分构造的范数是稠密的。在本注记的最后部分，我们通过构造 $c_0$ 中的一个 $C^\infty$-光滑范数（其对偶范数非严格凸）解决了同一三位作者提出的第四个问题。