Read 空间的若干几何性质

我们研究了 C.~Read (arXiv 1307.7958) 最近构造的 Banach 空间 $\mathcal{R}$ 的几何性质，该空间不包含余维数大于或等于二的逼近子空间。具体而言，我们证明了 $\mathcal{R}$ 的二次共轭空间是严格凸的，$\mathcal{R}$ 的对偶空间的范数是粗糙的，以及 $\mathcal{R}$ 是弱局部一致凸的（但不是局部一致凸的）。除了这些结果本身的意义外，它们还简化了 M.~Rmoutil (J.\ Funct.\ Anal.\ 272 (2017), 918--928) 关于 $\mathcal{R}$ 上的范数可达泛函集不包含任何维数大于或等于二的线性子空间的证明。注意，如果 Banach 空间 $X$ 包含余维数至少为二的逼近子空间，则 $X$ 上的范数可达泛函集包含 $X^*$ 的二维线性子空间。我们的结果也对 $\mathcal{R}$ 的对偶空间是否光滑以及 $\mathcal{R}$ 是否弱局部一致凸的问题给出了肯定回答 (J.\ Funct.\ Anal.\ 272 (2017), 918--928)。最后，我们给出了 Read 空间的一种重赋范，它是光滑的，其对偶空间也是光滑的，并且其范数可达泛函集不包含任何维数大于或等于二的线性子空间，因此重赋范后的空间不包含余维数大于或等于二的逼近子空间。