数值指标为1的Banach空间的凸性与光滑性

我们证明，数值指标为1的Banach空间除非是一维的，否则不能具有良好的凸性或光滑性。例如，其单位球中没有WLUR点，其范数不是Fréchet光滑的，其对偶范数既非光滑也非严格凸。实际上，这些结果对于具有（严格更弱的）替代Daugavet性质的空间也成立。我们构造了一个（非完备的）严格凸的无限维$L_1$空间的前对偶（该前对偶满足一个称为“ lushness”的性质，该性质蕴含数值指标为1）。另一方面，我们证明，一个 lush 的实Banach空间除非是一维的，否则既非严格凸也非光滑。特别地，如果实空间$C[0,1]$的子空间$X$是光滑或严格凸的，那么$C[0,1]/X$包含一个$C[0,1]$的拷贝。最后，我们证明任何无限维 lush 实空间的对偶都包含一个$\ell_1$的拷贝。