Banach空间稠密子空间中的光滑范数

在本文的第一部分，我们证明$\ell_\infty$具有一个容许等价实解析范数的稠密线性子空间。作为一个推论，每个可分的Banach空间以及$\ell_1(\mathfrak{c})$也都具有一个容许解析重赋范的稠密线性子空间。相比之下，$c_0(\omega_1)$的稠密子空间都不容许解析范数。在第二部分，我们证明（特别地解决了一个Guirao、Montesinos和Zizler的公开问题）每个具有长无条件Schauder基的Banach空间都包含一个容许$C^{\infty}$光滑范数的稠密子空间。最后，我们证明$\ell_{\infty}^{c}(\omega_1)$存在一个不容许G\^ateaux光滑范数的真稠密子空间。（此处，$\ell_{\infty}^{c}(\omega_1)$表示定义在$\omega_1$上实值、有界且可数支撑的函数构成的Banach空间。）