可分离巴拿赫空间嵌入 $(\ell^\infty \setminus c)\cup\{0\}$ 中的等距映射

经典的巴拿赫-马扎尔定理断言，每个可分离巴拿赫空间都等距嵌入到 $C[0,1]$ 中。也人人知晓，每个可分离巴拿赫空间都嵌入到 $\ell^\infty$ 中。我们证明，能够选择这样一种嵌入，其像仅在原点处与 $c$ 相交。此外，我们证明，任意有限维或可数维，或更一般的可分离的 $(\ell^\infty \setminus c)\cup\{0\}$ 的子空间，可以扩展为包含任意可分离巴拿赫空间等距拷贝的子空间，同时仍避开 $c$。我们进一步建立，此扩展属性也对每个子空间 $D\subset \ell^\infty$ 成立，其中 $D\cap c=\{0\}$ 且在商空间 $\ell^\infty/c$ 中的像是可分离的。