强范数达到Lipschitz映射的稠密性之例与应用

我们研究从（完备带基点）度量空间$M$到Banach空间$Y$的强范数达到Lipschitz映射集合$\operatorname{SNA}(M,Y)$（即定义Lipschitz范数的上确界实为最大值）的稠密性。我们给出新颖且有些反直觉的例子，并给出若干应用。首先，我们证明对任意Banach空间$Y$，$\operatorname{SNA}(\mathbb T,Y)$在${\mathrm{Lip}}_0(\mathbb T,Y)$中并不稠密，其中$\mathbb T$表示欧几里得平面中的单位圆。这给出了首个Gromov凹度量空间（即每个分子都是Lipschitz自由空间单位球中的强暴露点）不满足稠密性的例子。接着，我们构造度量空间$M$，满足对任意$Y$均有$\operatorname{SNA}(M,Y)$在${\mathrm{Lip}}_0(M,Y)$中稠密，但$M$包含$[0,1]$的等距拷贝，从而Lipschitz自由空间$\mathcal F(M)$不满足Radon--Nikod\'{y}m性质，以否定回答了一个已提出的问题。此外，可构造例子$M$不满足所有先前已知的获得强范数达到Lipschitz映射稠密性的充分条件。最后，在其他应用中，我们证明给定不含任何$[0,1]$等距拷贝的紧度量空间$M$与Banach空间$Y$，若$\operatorname{SNA}(M,Y)$稠密，则$\operatorname{SNA}(M,Y)$实际包含一个开稠子集且$B_{\mathcal F(M)}=\overline{{\mathrm{co}}}(\operatorname{str-exp}(B_{\mathcal F(M)}))$。进一步，我们证明若$M$是有界紧度量空间且$\operatorname{SNA}(M,\mathbb R)$在${\mathrm{Lip}}_0(M,\mathbb R)$中稠密，则$M$上Lipschitz自由空间的单位球是其主要暴露点的闭凸包。