某些巴拿赫空间类的测试空间刻画

设 $\mathcal{P}$ 为一类巴拿赫空间，$T=\{T_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 为一组度量空间。若以下两个条件等价，则称 $T$ 为 $\mathcal{P}$ 的一组测试空间：(1) $X\notin\mathcal{P}$；(2) 空间族 $\{T_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 可一致双利普希茨嵌入到 $X$ 中。本文第一部分致力于简化 M.I. Ostrovskii [Different forms of metric characterizations of classes of Banach spaces, Houston J. Math., to appear] 中获得的如下测试空间刻画的证明：对于任意有限维巴拿赫空间序列 $\{X_m\}_{m=1}^\infty$，存在一个最大度为 3 的有限连通无权重图序列 $\{H_n\}_{n=1}^\infty$，使得巴拿赫空间 $Y$ 满足以下条件等价：(A) $Y$ 可一致同构嵌入 $\{X_m\}_{m=1}^\infty$；(B) $Y$ 可一致双利普希茨嵌入 $\{H_n\}_{n=1}^\infty$。本文第二部分致力于 $\{X_m\}_{m=1}^\infty$ 为递增空间序列的情形。结果表明，在此情形下，由 (A) 给出的空间类可用单个测试空间刻画，该测试空间可选为一个最大度为 3 的无限图。