巴拿赫空间 Polish 空间：等距类与同构类的复杂性

我们研究了作者在[14]中近期引入并考察的巴拿赫空间 Polish 空间中，可分离巴拿赫空间的等距类和同构类的复杂性。我们获得了关于最经典可分离巴拿赫空间的精确结果。我们证明无限维可分离希尔伯特空间被刻画为唯一等距类闭的可分离无限维巴拿赫空间，也被刻画为唯一同构类为 $F_\sigma$ 的可分离无限维巴拿赫空间。对于 $p\in\left[1,2\right)\cup\left(2,\infty\right)$，我们证明 $L_p[0,1]$ 和 $\ell_p$ 的等距类分别是 $G_\delta$-完备集和 $F_{\sigma\delta}$-完备集。然后我们证明 $c_0$ 的等距类是 $F_{\sigma\delta}$-完备集。此外，我们计算了许多其他自然的可分离巴拿赫空间类的复杂性；例如，对于 $p,\lambda\geq 1$，可分离 $\mathcal{L}_{p,\lambda+}$-空间类被证明是 $G_\delta$-集，超自反空间类被证明是 $F_{\sigma\delta}$-集，具有局部 $\Pi$-基结构的空间类被证明是 $\boldsymbol{\Sigma}^0_6$-集。本文以许多开放问题和未来研究建议作结。