测地线的厚族与微分
度量几何
2019-06-04 v2 泛函分析
摘要
取值于具有 Radon-Nikodým 性质 (RNP) 的 Banach 空间的 Lipschitz 函数的微分理论,最初由 Cheeger-Kleiner 发展,已被证明是证明度量空间到这些 Banach 空间的非双 Lipschitz 嵌入性的有力工具。该理论适用的重要度量空间例子包括非交换 Carnot 群和 Laakso 空间。在寻找 RNP 的度量刻画过程中,Ostrovskii 发现了另一类不能双 Lipschitz 嵌入到 RNP 空间的空间,即包含测地线厚族的空间。我们的第一个结果是,任何包含测地线厚族的度量空间也包含一个子集以及该子集上的概率测度,满足一种弱化的 RNP Lipschitz 可微性。一个推论是新的非嵌入性结果。我们的第二个主要结果是,若度量空间是非 RNP 的 Banach 空间,则可构造由测地线厚族组成的子集以满足真正的 RNP 可微性。一个引人入胜的问题是,这一微分准则,或其某种弱化形式(如我们在第一个结果中所证明的),是否确实刻画了一般度量空间到 RNP Banach 空间的非双 Lipschitz 嵌入性。
引用
@article{arxiv.1904.02315,
title = {Thick Families of Geodesics and Differentiation},
author = {Chris Gartland},
journal= {arXiv preprint arXiv:1904.02315},
year = {2019}
}
备注
36 pages, 6 figures. Approximation arguments from Section 5 have been corrected. New Section 8 has application of main theorem