形如 $C(K)$ 的巴拿赫空间中的不可数等边集

本文关注如下问题：不可分巴拿赫空间是否必包含一个向量不可数集，使得该集中任意两个不同向量间的距离相同。这样的集称为等边集。我们证明马丁公理与连续统假设的否认定理蕴含每个形如 $C(K)$ 的不可分巴拿赫空间都有一个不可数等边集。我们也证明若无额外的集合论假设则无法得到这样的结果，因为我们构造了一个形如 $C(K)$ 的不可分巴拿赫空间的例子，在作出另一个一致的组合假设下，它没有不可数等边集（或等价地，对任意 $\varepsilon>0$ 在单位球中没有不可数 $(1+\varepsilon)$-分离集）。紧空间 $K$ 是从以反拉姆齐方式起作用的函数序列得到的分裂区间的一个版本。是否存在形如异于 $C(K)$ 的不可分巴拿赫空间的绝对例子没有不可数等边集，这仍然开放。由 S. Mercourakis, G. Vassiliadis 的结果可知，我们的例子有一个等价的重新赋范，在其中它有不可数等边集。是否存在在任何等价重新赋范下都没有不可数等边集的一致例子仍然开放，但由 S. Todorcevic 的结果可知，一致地每个不可分巴拿赫空间有一个等价重新赋范，在其中它有不可数等边集。