Banach 空间上的等距变换可数群

如果群 G 同构于某个等价范数下 Banach 空间 X 上的等距变换群，则称 G 可在 Banach 空间 X 中表示。我们证明了在几种一般情形下，可数群 G 可在可分实 Banach 空间 X 中表示，包括当 $G=\{-1,1\} \times H$（H 有限且 $\dim X \geq |H|$）时，或当 G 包含一个二元正规子群且 X 具有 $c_0(Y)$ 或 $\ell_p(Y)$ ($1 \leq p <+\infty$) 形式时。这是受 S. Bellenot 方法启发的一个结果的推论，该结果表明：在关于可分实 Banach 空间 X 和 X 上包含 -Id 的可数有界同构群 G 的相当一般的条件下，存在 X 上的一个等价范数，使得 G 等于 X 上的等距变换群。我们还扩展了 K. Jarosz 的方法，证明了任何维数至少为 2 的复 Banach 空间均可重新赋范以仅允许平凡的实等距变换，且任何作为笛卡尔平方的实 Banach 空间均可重新赋范以仅允许平凡的和共轭的实等距变换。由此可知，每个维数至少为 4 且具有同构意义下复结构的实空间，均可重新赋范以在同构意义下恰好具有两个复结构；且每个实笛卡尔平方均可重新赋范以在同构意义下具有唯一的复结构。